計算三列分別為 (9,2,2)、(28,8,8)、(18,5,4) 的 3×3 矩陣的行列式。

Step-by-step solution

1. 1

   先注意第 2 列的公因數。 $(28,8,8)$ 的每一項都能被 $4$ 整除。把某一列乘上 $k$，行列式也會乘上 $k$，所以

   $\det=4\begin{vmatrix}9&2&2\\7&2&2\\18&5&4\end{vmatrix}$

   這樣可以把數字壓小——一旦項變大，這是個重要的習慣。

2. 2

   再用一次列運算化簡。 第 $1$ 列減去第 $2$ 列（這不會改變行列式），剩下

   $4\begin{vmatrix}2&0&0\\7&2&2\\18&5&4\end{vmatrix}$

   因為這兩列的第二、三項都是 $2,2$。

3. 3

   沿新的第一列展開。 只有 $(1,1)$ 位置的 $2$ 不為零，餘因子的正負號是 $+$：

   $4\cdot 2\begin{vmatrix}2&2\\5&4\end{vmatrix}=8(8-10)=8(-2)=-16$

   $\boxed{-16}$

4. 4

   用原矩陣直接做餘因子展開來驗證。

   $9(8\cdot 4-8\cdot 5)-2(28\cdot 4-8\cdot 18)+2(28\cdot 5-8\cdot 18)$

   $=9(32-40)-2(112-144)+2(140-144)=-72+64-8=-16$

   兩條路徑結果一致。

5. 5

   和鄰近的題目對照。 只把中間那一列由 $(27,7,7)$ 換成 $(28,8,8)$，行列式就從 $-9$ 變成 $-16$。行列式對元素的小幅變動極為敏感，這正是考題常出現這種幾乎一模一樣的矩陣的原因——每一題都得從頭算過。