將 x² − 2ax + x + a² − a − 2 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   按 $x$ 的次方整理各項。

   $x^2+(1-2a)x+\left(a^2-a-2\right)$

   它是 $x$ 的二次式，係數裡帶著 $a$——所以任何分解結果都應該是兩個對 $x$ 一次的括號相乘。

2. 2

   看出藏在裡面的完全平方。 $x^2$、$-2ax$ 與 $a^2$ 這三塊剛好是 $(x-a)^2$。把它們挑出來之後剩下

   $x^2-2ax+a^2+x-a-2=(x-a)^2+(x-a)-2$

   因為剩下的 $+x-a$ 本身就是 $(x-a)$。現在每一個 $x$ 與 $a$ 都只出現在 $x-a$ 這一個組合裡。

3. 3

   代換 $u=x-a$，再分解這個普通的二次式。

   $u^2+u-2=(u-1)(u+2)$

   因為 $(-1)(2)=-2$ 且 $-1+2=1$。經過代換，參數完全消失了。

4. 4

   把 $u=x-a$ 代回去。

   $(x-a-1)(x-a+2)$

5. 5

   用兩種方式交叉檢查。 走係數路線：$a^2-a-2=(a-2)(a+1)$，而兩個括號的常數項 $-(a+1)$ 與 $2-a$ 相加得 $1-2a$ ✓，與一次項係數相符。數值上取 $x=1$、$a=2$：原式是 $1-4+1+4-2-2=-2$，而 $(1-2-1)(1-2+2)=(-2)(1)=-2$ ✓。