化簡 0.8x + (1 − x)(0.2)。

Step-by-step solution

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   動手化簡前先看清結構。 這是一個加權平均：占比為 $x$ 的那部分按 $0.8$ 的比率貢獻，剩下的 $1-x$ 按 $0.2$ 的比率貢獻。這種形狀的式子常出現在混合、機率與混合費率的問題裡，知道這一點你就能預判化簡結果必定是 $x$ 的一次式。

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   把 0.2 乘進括號。

   $0.2\cdot1=0.2,\qquad 0.2\cdot(-x)=-0.2x$

   於是式子成為

   $0.8x+0.2-0.2x$

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   把同類項歸攏。 兩個 $x$ 項可以合併，那個孤單的常數不行：

   $(0.8x-0.2x)+0.2$

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   合併並寫出結果。

   $0.8x-0.2x=0.6x\qquad\Longrightarrow\qquad 0.6x+0.2$

   斜率 $0.6$ 恰好是兩個比率之差 $0.8-0.2$，而截距 $0.2$ 就是 $x=0$ 時的值。

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   用兩個端點做直覺檢驗。 $x=0$ 時式子應當就是純低比率：$0.6(0)+0.2=0.2$ ✓。$x=1$ 時應當是純高比率：$0.6(1)+0.2=0.8$ ✓。兩個端點都正好落在加權平均這一解讀所預測的位置上。

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   在隨機取值上驗證。 在 $[-5,5]$ 上隨機取 $40$ 個 $x$，把原式與化簡後的式子逐點比對，每一點都在機器精度下一致 ✓，可見結論在 $[0,1]$ 之外同樣成立。