把 (2x + 1)/(x + 5) − (3x − 2)/(x + 4) 化簡成單一分數。

Step-by-step solution

1. 1

   先造出公分母。 兩個分母 $x+5$ 與 $x+4$ 沒有公因式，所以最小公分母就是它們的乘積 $(x+5)(x+4)$。把每個分數的分子分母同乘以對方的分母：

   $\frac{2x+1}{x+5}=\frac{(2x+1)(x+4)}{(x+5)(x+4)},\qquad \frac{3x-2}{x+4}=\frac{(3x-2)(x+5)}{(x+5)(x+4)}.$

   同時記下限制條件 $x\ne-5$ 與 $x\ne-4$，它們要一路帶到最後的答案。

2. 2

   展開第一個分子。 用乘法分配（FOIL）：

   $(2x+1)(x+4)=2x^{2}+8x+x+4=2x^{2}+9x+4.$

   中間項係數是 $8+1=9$；先把這兩個同類項合併再往下做，免得一路拖著一個四項式。

3. 3

   同樣展開第二個分子。

   $(3x-2)(x+5)=3x^{2}+15x-2x-10=3x^{2}+13x-10.$

   留意常數項：$(-2)(+5)=-10$，不是 $+10$。

4. 4

   相減時把減號分配到全部三項。 錯誤都集中在這一步：

   $\left(2x^{2}+9x+4\right)-\left(3x^{2}+13x-10\right)=2x^{2}+9x+4-3x^{2}-13x+10.$

   第二個括號裡每一項的符號都要翻轉，包括 $-10$ 變成 $+10$。合併同類項：

   $-x^{2}-4x+14.$

5. 5

   寫出結果並作數值檢驗。 化簡後的式子是

   $\frac{-x^{2}-4x+14}{(x+5)(x+4)}=-\frac{x^{2}+4x-14}{(x+5)(x+4)},\qquad x\ne-5,\,-4.$

   分子在有理數範圍內無法因式分解（判別式是 $16+56=72$），所以沒有可約分的部分。取 $x=2$ 作數值檢驗：原式給出 $\tfrac57-\tfrac46=0.7143-0.6667=0.04762$，答案給出 $\tfrac{-4-8+14}{7\cdot 6}=\tfrac{2}{42}=0.04762$ ✓。