5x² − 2x + 1 在實數範圍內能因式分解嗎？

Step-by-step solution

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   把「能不能分解」轉成「有沒有實根」。 一個二次式能分解成實係數的一次因式 $a(x-r_{1})(x-r_{2})$，恰好發生在它有實根 $r_{1},r_{2}$ 的時候。所以整個問題由判別式一槌定音，完全不必去湊因數對試來試去。

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   算出判別式。 取 $a=5$、$b=-2$、$c=1$：

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(5)(1)=4-20=-16$

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   解讀這個正負號。 $\Delta=-16<0$，所以公式解裡會出現 $\sqrt{-16}$，而它不是實數。因此沒有實根，也就不存在分解成實係數一次因式的寫法：

   $5x^{2}-2x+1\ \text{ 不可分解於實數體 }\mathbb{R}$

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   用配方法再確認一次。 把 $x$ 的項裡的 $5$ 提出來，$-\tfrac25$ 的一半是 $-\tfrac15$：

   $5x^{2}-2x+1=5\left(x-\tfrac15\right)^{2}-5\cdot\tfrac1{25}+1=5\left(x-\tfrac15\right)^{2}+\tfrac45$

   最小值是 $\tfrac45>0$，所以這條拋物線根本碰不到 $x$ 軸 —— 這是同一結論的另一條獨立證明。

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   順手在 $\mathbb{C}$ 上分解，補齊全貌。 由 $5\left(x-\tfrac15\right)^{2}=-\tfrac45$ 得 $\left(x-\tfrac15\right)^{2}=-\tfrac4{25}$，於是

   $x=\frac{1\pm2i}{5}$

   因此 $5x^{2}-2x+1=5\left(x-\frac{1+2i}{5}\right)\left(x-\frac{1-2i}{5}\right)$。公式解給出相同結果：$x=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{10}=\frac{2\pm4i}{10}=\frac{1\pm2i}{5}$ ✓ —— 一對共軛根，實係數多項式向來如此。