計算三列分別為 (9,2,2)、(27,7,7)、(18,5,4) 的 3×3 矩陣的行列式。

Step-by-step solution

1. 1

   先找有沒有捷徑。 前兩列的第二、三項都相等（分別是 $2,2$ 與 $7,7$），這暗示把第 $3$ 行減去第 $2$ 行會造出零。不過只有三列時，沿第一列直接做餘因子展開本來就很短，所以我們用展開法，把這個結構留著當驗算。

2. 2

   寫出帶正負交錯符號的餘因子展開。 沿第一列，符號依序是 $+,-,+$：

   $\det=9\begin{vmatrix}7&7\\5&4\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}27&7\\18&4\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}27&7\\18&5\end{vmatrix}$

3. 3

   算出三個 2×2 子行列式。

   $\begin{vmatrix}7&7\\5&4\end{vmatrix}=28-35=-7,\quad \begin{vmatrix}27&7\\18&4\end{vmatrix}=108-126=-18,\quad \begin{vmatrix}27&7\\18&5\end{vmatrix}=135-126=9$

4. 4

   合併起來。

   $\det=9(-7)-2(-18)+2(9)=-63+36+18=-9$

   $\boxed{-9}$

5. 5

   用行運算的捷徑檢驗。 把 $C_2$ 換成 $C_2-C_3$（行列式不變），得到

   $\begin{vmatrix}9&0&2\\27&0&7\\18&1&4\end{vmatrix}$

   沿新的第二行展開，只有 $(3,2)$ 位置的 $1$ 留下來，符號是 $(-1)^{3+2}=-1$：

   $\det=-1\begin{vmatrix}9&2\\27&7\end{vmatrix}=-(63-54)=-9$

   兩種方法結果一致。