解四次方程式 x⁴ − 16x³ + 66x² − 16x − 35 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   找出重複出現的二次式區塊。 $-16$ 的一半是 $-8$，而 $(x^2-8x)^2 = x^4 - 16x^3 + 64x^2$ 已經把前三項湊出來，只差一點點餘項。這提示我們做代換

   $t = x^2 - 8x$

2. 2

   把四次式改寫成 t 的式子。 減掉上面的展開式：

   $x^4 - 16x^3 + 66x^2 - 16x - 35 = \left(x^2-8x\right)^2 + 2x^2 - 16x - 35 = t^2 + 2t - 35$

   關鍵的巧合是剩下的 $2x^2 - 16x$ 恰好就是 $2t$，所以沒有多餘的 $x$ 留下來。$x$ 的四次式就這樣變成 $t$ 的二次式。

3. 3

   解 t 的二次式。 乘積是 $-35$、和是 $+2$ 的兩個數是 $+7$ 與 $-5$：

   $t^2 + 2t - 35 = (t+7)(t-5) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = -7 \ \text{或} \ t = 5$

4. 4

   換回 x，得到兩個二次式。

   $x^2 - 8x = -7 \ \Longrightarrow \ x^2 - 8x + 7 = 0$

   $x^2 - 8x = 5 \ \Longrightarrow \ x^2 - 8x - 5 = 0$

   也就是 $x^4-16x^3+66x^2-16x-35 = \left(x^2-8x+7\right)\left(x^2-8x-5\right)$，展開回去和原式完全一樣。

5. 5

   分別解這兩個二次式。 第一個在整數範圍內就能分解：

   $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7) = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 1 \ \text{或} \ x = 7$

   第二個因為 $\Delta = 64 + 20 = 84$ 不是完全平方數，要用配方法：

   $(x-4)^2 = 21 \quad \Longrightarrow \quad x = 4 \pm \sqrt{21}$

6. 6

   整理並檢查這四個實根。

   $x = 1,\quad x = 7,\quad x = 4 + \sqrt{21} \approx 8.5826,\quad x = 4 - \sqrt{21} \approx -0.5826$

   四個根都是實數。用根與係數關係檢查：四根之和是 $1 + 7 + 8 = 16 = -(-16)/1$，四根之積是 $7 \cdot (16-21) = -35$，與常數項相符。把 $x = 4+\sqrt{21}$ 代進去數值計算，結果到小數點後十二位都是 $0$。