已知 x − 4y = 5，求 C = x² − 8xy + 16y² 的值。

Step-by-step solution

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   **注意題目的條件並不能分別定出 x 與 y。**兩個未知數只有一個方程式，解有無限多組，所以這個式子必須被整理成只依賴 $x - 4y$ 這個組合。這是強烈暗示我們該去找完全平方。

2. 2

   **把式子對到完全平方的形式。**恆等式是

   $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

   這裡 $A^2 = x^2$ 給出 $A = x$，而 $B^2 = 16y^2$ 給出 $B = 4y$。檢查中間項：$2AB = 2 \cdot x \cdot 4y = 8xy$，與式子裡的 $-8xy$ 相符。

3. 3

   把式子改寫成單一個平方。

   $C = x^2 - 8xy + 16y^2 = (x - 4y)^2$

4. 4

   **把整個括號的值代入。**因為 $x - 4y = 5$：

   $C = 5^2 = 25$

   代入的是整個式子 $x - 4y$，而不是 $x$ 與 $y$ 各自的值 —— 這正是這道題可解的原因。

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   **用具體的數對確認。**任何滿足 $x - 4y = 5$ 的 $(x, y)$ 都應該給出同樣的答案。取 $y = 0$、$x = 5$：$25 - 0 + 0 = 25 \ \checkmark$。取 $y = 1$、$x = 9$：$81 - 72 + 16 = 25 \ \checkmark$。取 $y = -2$、$x = -3$：$9 - 48 + 64 = 25 \ \checkmark$。