解方程式 x^4 - 6x^2 + 8 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   認出這是偽裝的二次式。 式子裡只出現 $x$ 的偶次方，而且 $x^4=(x^2)^2$。令

   $u=x^2$

   就把四次式變成一般的二次式——這種形狀叫做雙二次式。

2. 2

   解關於 $u$ 的二次式。 要找兩個數，乘積為 $8$、和為 $-6$，也就是 $-2$ 與 $-4$：

   $u^2-6u+8=(u-2)(u-4)=0\quad\Longrightarrow\quad u=2\ \text{或}\ u=4$

3. 3

   代回去開平方。 每個正的 $u$ 值都貢獻兩個 $x$ 值：

   $x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt2,\qquad x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

   兩個 $u$ 值都是正的，這就是四個根全都是實數的原因。若 $u$ 是負的，得到的會是虛根。

4. 4

   挑一個無理根、一個整數根來檢查。 取 $x=\sqrt2$：$x^4=4$、$6x^2=12$，所以 $4-12+8=0$ $\checkmark$。取 $x=2$：$16-24+8=0$ $\checkmark$。

5. 5

   確認根的個數。 四次多項式最多有四個根，而分解式

   $x^4-6x^2+8=(x^2-2)(x^2-4)=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x-2)(x+2)$

   把四個根全部顯示出來，所以沒有遺漏。