解方程式 x/(x + 5) − 25/(x² + 25) = 0。

Step-by-step solution

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   先看定義域。 分母 $x^{2}+25$ 對任何實數 $x$ 都不為零，所以唯一的排除值來自第一個分數，即 $x=-5$。萬一算出的候選根等於 $-5$，就必須捨去。

2. 2

   把一個分數移過去，再交叉相乘。 原式說的就是這兩個分數相等：

   $\frac{x}{x+5}=\frac{25}{x^{2}+25}\quad\Longrightarrow\quad x\left(x^{2}+25\right)=25(x+5)$

3. 3

   展開 —— 留意中間兩項互相抵消。

   $x^{3}+25x=25x+125\quad\Longrightarrow\quad x^{3}=125$

   兩邊的 $25x$ 恰好抵消，這就把一個看起來很棘手的三次方程式變成了一次簡單的開立方。

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   取實數立方根。

   $x=\sqrt[3]{125}=5$

   在實數範圍內這是唯一的解；三次式 $x^{3}-125=(x-5)\left(x^{2}+5x+25\right)$ 裡的二次因式判別式為 $25-100=-75<0$，所以另外兩個根是複數。

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   對照原式和定義域檢驗。 $x=5\neq -5$，所以它是允許的，而且

   $\frac{5}{10}-\frac{25}{50}=0.5-0.5=0\ \checkmark$

   $\boxed{x=5}$

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   小心一個常見的看錯。 要是第二個分母寫的是 $x^{2}-25$ 而不是 $x^{2}+25$，題目就完全變了 —— $x^{2}-25$ 能分解成 $(x+5)(x-5)$，會帶來第二個排除值 $x=5$，那時這個根反而必須捨去。去分母之前，一定要先確認分母裡的正負號。