求所有滿足 (x > 3 或 x < −2) 且 x ≥ −1 的 x。

Step-by-step solution

1. 1

   把第一個條件寫成區間的聯集。

   $x > 3 \ \text{ 或 } \ x < -2 \quad\Longleftrightarrow\quad x \in (-\infty,\, -2) \cup (3,\, \infty)$

   「或」對應聯集，「且」則對應交集。把這兩者搞混，正是這類題目最主要的陷阱。

2. 2

   寫出第二個條件。

   $x \ge -1 \quad\Longleftrightarrow\quad x \in [-1,\, \infty)$

3. 3

   逐支取交集。 交集對聯集有分配律：

   $\left(A \cup B\right) \cap C = \left(A \cap C\right) \cup \left(B \cap C\right)$

   第一支：$(-\infty, -2) \cap [-1, \infty) = \varnothing$，因為比 $-2$ 小的數一定也比 $-1$ 小。第二支：$(3, \infty) \cap [-1, \infty) = (3, \infty)$，因為 $3 > -1$，在那裡條件 $x \ge -1$ 是多餘的。

4. 4

   把兩支合起來。

   $\varnothing \cup (3,\infty) = (3,\, \infty), \qquad \text{即 } x > 3$

5. 5

   代三個數值測試。 $x = 4$：滿足 $x > 3$ 也滿足 $x \ge -1$ —— 在集合內。$x = -3$：滿足 $x < -2$ 但不滿足 $x \ge -1$ —— 在集合外。$x = 0$：滿足 $x \ge -1$，但第一個條件的兩支都不滿足 —— 在集合外。答案 $x > 3$ 與三者都吻合。