關係式 y = p 乘根號 x 加上 q 除以根號 x 不是直線型。把它化成直線型。

Step-by-step solution

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   先弄清楚「直線型」在要求什麼。 目標是寫成 $Y=mX+c$，其中 $Y$ 與 $X$ 是由 $x$ 和 $y$ 組成的式子，而未知常數 $p$、$q$ 只以斜率和截距的身分出現。這樣一來，把實驗數據的 $Y$ 對 $X$ 作圖，就能從直線讀出 $p$ 與 $q$。

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   找出是什麼擋住了這個形式。 照原樣寫，右邊同時含有 $\sqrt{x}$ 和 $x^{-1/2}$。兩個不同次方相加，不論 $X$ 怎麼取都不會變成一次式，所以在換變數之前必須先改造這個等式。

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   兩邊同乘 $\sqrt{x}$。 因為要讓 $\sqrt{x}$ 有定義且不為零就得有 $x>0$，這個運算是合法的：

   $y\sqrt{x}=p\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}+\frac{q}{\sqrt{x}}\cdot\sqrt{x}=px+q$

   兩個礙事的二分之一次方同時垮掉：一個變成 $x$，另一個變成常數。

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   替新變數命名，並讀出常數。 令

   $Y=y\sqrt{x},\qquad X=x$

   關係式就是 $Y=pX+q$：一條斜率為 $p$、縱軸截距為 $q$ 的直線。

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   用具體數字檢驗。 取 $p=2$、$q=3$、$x=4$。原式給出 $y=2(2)+\tfrac{3}{2}=5.5$，所以 $Y=y\sqrt{x}=5.5\times 2=11$。直線型預測 $pX+q=2(4)+3=11$——完全一致，可見這個變換保住了原本的關係，而不只是把式子寫得漂亮而已。