在整數範圍將 x⁴ + x³ + 2x² − x + 3 完全因式分解。

Step-by-step solution

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   先排除一次因式。 由有理根定理，任何有理根都要整除 $3$，所以候選值只有 $\pm1,\pm3$。逐一代入：$f(1)=1+1+2-1+3=6$、$f(-1)=1-1+2+1+3=6$、$f(3)=81+27+18-3+3=126$、$f(-3)=81-27+18+3+3=78$。沒有一個為零，所以沒有一次因式，在整數範圍唯一可能的分解就是拆成兩個二次式。

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   設好待定係數的模板。 因為最高次項係數是 $1$，兩個二次式都可以取成首一：

   $x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$

   展開後得到 $x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd$。

3. 3

   比對係數，得到四個方程式。

   $a+c=1,\qquad ac+b+d=2,\qquad ad+bc=-1,\qquad bd=3$

   常數項的方程式 $bd=3$ 選擇最少，所以由它主導搜尋：$(b,d)\in\{(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\}$。

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   試 (b, d) = (1, 3)。 此時 $ac+4=2$，即 $ac=-2$，配合 $a+c=1$，可知 $\{a,c\}$ 是 $t^2-t-2=(t-2)(t+1)$ 的根，也就是 $\{2,-1\}$。檢查一次項係數：$ad+bc=2(3)+1(-1)=5\neq-1$。換成 $a=-1,c=2$ 會得到 $-3+2=-1$……但那只是換個標記，等同於下面的 $(b,d)=(3,1)$。照題目寫定的順序來看，這一組不成立。

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   試 (b, d) = (3, 1)。 一樣有 $ac+4=2$，故 $ac=-2$ 且 $\{a,c\}=\{2,-1\}$。這次 $ad+bc=2(1)+3(-1)=2-3=-1$ ✓——四個方程式都被 $a=2,\ b=3,\ c=-1,\ d=1$ 滿足。

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   寫出分解並確認已經完整。

   $x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2+2x+3)(x^2-x+1)$

   兩個因式在實數範圍都不能再拆：判別式分別是 $2^2-4(1)(3)=-8$ 與 $(-1)^2-4(1)(1)=-3$，都是負的，所以這個四次式完全沒有實根。

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   乘回去驗算。 $(x^2+2x+3)(x^2-x+1)=x^4-x^3+x^2+2x^3-2x^2+2x+3x^2-3x+3=x^4+x^3+2x^2-x+3$ ✓，每一個係數都相符。