按要求做除法並化簡：(y² − 81) 除以分式 (y² + 4y − 45)/(y² + 9)。

Step-by-step solution

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   第一步先把除法改寫成乘法。 除以一個分式就是乘以它的倒數，所以在動別的地方之前，先把第二個式子翻過來。想跨著除號去約分，是這類題目最常見的錯誤：

   $\left(y^{2}-81\right)\div\frac{y^{2}+4y-45}{y^{2}+9}=\left(y^{2}-81\right)\cdot\frac{y^{2}+9}{y^{2}+4y-45}$

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   把每個多項式徹底分解。 只有在因式之間才准約分，所以在每一塊都化成乘積之前，什麼都不能化簡。第一個是平方差；那個二次三項式則要找乘積為 $-45$、和為 $4$ 的一對數，也就是 $9$ 與 $-5$：

   $y^{2}-81=(y-9)(y+9),\qquad y^{2}+4y-45=(y+9)(y-5)$

   注意 $y^{2}+9$ 是平方和，在實數範圍內分解不了，所以原樣保留。

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   拼成一個分式。 把分解後的分子放到分解後的分母上：

   $\frac{(y-9)(y+9)\left(y^{2}+9\right)}{(y+9)(y-5)}$

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   約掉公因式，並把限制條件記下來。 因式 $(y+9)$ 上下都有，可以約掉：

   $\frac{(y-9)\left(y^{2}+9\right)}{y-5}$

   這個約分只有在 $y+9\neq 0$ 時才合法，而剩下的分母又不允許 $y=5$，所以化簡後的式子適用於 $y\neq -9$ 且 $y\neq 5$。

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   取一個值把結果驗算一遍。 當 $y=2$ 時，原式是 $(4-81)\div\dfrac{4+8-45}{4+9}=(-77)\cdot\dfrac{13}{-33}=\dfrac{1001}{33}$；而化簡後的式子給出 $\dfrac{(2-9)(4+9)}{2-5}=\dfrac{-91}{-3}=\dfrac{91}{3}=\dfrac{1001}{33}$。兩者一致，可見整串變形站得住腳。