把 9x² − 12xy + 4y² 寫成完全平方式。

Step-by-step solution

1. 1

   先檢查頭尾兩項是不是完全平方。 一個三項式要能寫成二項式的平方，首項與末項必須都是平方：

   $9x^2=(3x)^2,\qquad 4y^2=(2y)^2$

   所以候選答案是 $(3x\pm 2y)^2$，而正負號只能由中間項決定。

2. 2

   用 $2ab$ 檢驗中間項。 對 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，取 $a=3x$、$b=2y$：

   $2ab=2(3x)(2y)=12xy$

   題目給的中間項是 $-12xy$，恰好等於 $-2ab$。這個檢驗就是整套方法的全部——中間項若不是 $\pm 12xy$，這個式子就不是完全平方。

3. 3

   由中間項決定正負號。 中間項是負的，所以括號裡取減號：

   $9x^2-12xy+4y^2=(3x-2y)^2$

4. 4

   展開驗證。

   $(3x-2y)^2=(3x)^2-2(3x)(2y)+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2\;\checkmark$

5. 5

   看看因式分解後的形式還告訴我們什麼。 既然這個式子是平方，對任何實數 $x,y$ 都不會是負的，而且恰好在 $3x=2y$ 時等於零。代入 $x=2$、$y=3$ 得 $9(4)-12(6)+4(9)=36-72+36=0$，而確實 $3(2)=2(3)\;\checkmark$ — 這是對零點集合的數值印證。