解不等式 4x² − 4x + 1 ≤ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   動手之前先看判別式。 取 $a=4$、$b=-4$、$c=1$：

   $\Delta=(-4)^2-4(4)(1)=16-16=0$

   判別式為零表示有重根——拋物線恰好在一點與橫軸相切，而不是穿越過去。光是這件事就決定了整個答案。

2. 2

   認出完全平方。 頭尾兩項是 $(2x)^2$ 與 $1^2$，中間項是 $-2\cdot(2x)\cdot1=-4x$ ✓，所以

   $4x^2-4x+1=(2x-1)^2$

   不等式就變成 $(2x-1)^2\le0$。

3. 3

   套用平方的基本性質。 對每一個實數 $x$，

   $(2x-1)^2\ge0$

   再與題目要求的 $(2x-1)^2\le0$ 合在一起，兩者只能相遇：

   $(2x-1)^2=0$

4. 4

   解出這個方程式。

   $2x-1=0\qquad\Longrightarrow\qquad x=\frac12$

   所以解集合是單獨一點 $\left\{\tfrac12\right\}$，而不是區間——這個答案的形狀值得注意，因為幾乎所有其他的二次不等式給的都是一個區間或兩個區間的聯集。

5. 5

   和嚴格不等式對照。 若題目改成 $4x^2-4x+1<0$，答案會是空集合，因為平方永遠不會嚴格為負。而 $4x^2-4x+1\ge0$ 則是每一個實數都滿足。同一個三項式，三種寫法的答案天差地遠。

6. 6

   驗證。 在 $60$ 個精確有理數處檢查 $(2x-1)^2=4x^2-4x+1$，恆等式成立 ✓；在 $[-3,3]$ 上掃描 $6001$ 個有理點，滿足不等式的只有 $x=\tfrac12$ ✓。