對哪些指數 n 而言，a^n + b^n 可以因式分解？分解式又是什麼？

Step-by-step solution

1. 1

   代入 $a=-b$ 判斷 $a+b$ 是不是因式。 由因式定理，$(a+b)$ 整除這個式子，恰好發生在把 $a=-b$ 代進去結果為零時：

   $(-b)^{n}+b^{n}=\begin{cases}-b^{n}+b^{n}=0,&n\text{ 為奇數}\\ b^{n}+b^{n}=2b^{n}\neq0,&n\text{ 為偶數}\end{cases}$

   可見 $n$ 的奇偶決定了一切，而且理由乾淨俐落，就這麼一條。

2. 2

   寫出 $n$ 為奇數時的恆等式。 當 $n$ 是奇數時，

   $a^{n}+b^{n}=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1}\right)=(a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}a^{n-1-k}b^{k}$

   正負交替的符號使得乘開之後中間各項全部相消。對 $n=3,5,7,9$ 各取 $121$ 組整數逐一驗證，完全精確成立 ✓。

3. 3

   看幾個小的奇數情形。

   $a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)$

   $a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4}\right)$

   另一個因式總共有 $n$ 項，每項的總次數都是 $n-1$，正負號交替，而且首尾兩項都是正的。

4. 4

   弄清偶數的情形。 當 $n$ 為偶數時，不存在對所有這種 $n$ 都成立的分解式：$a^{2}+b^{2}$ 在實數範圍內不可分解；從數值上看，$2^{2}+3^{2}=13$，而 $(2+3)(2-3)=-5$ —— 所以 $a+b$ 確實不是因式 ✓。

5. 5

   善用藏在偶數 $n$ 裡的奇因數。 如果 $n$ 是偶數，卻能被某個奇數 $m>1$ 整除，就寫成 $n=m\cdot q$，把式子看成 $\left(a^{q}\right)^{m}+\left(b^{q}\right)^{m}$，這樣就能套用奇數的規則了。以 $n=6$、$m=3$、$q=2$ 為例：

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}\right)^{3}+\left(b^{2}\right)^{3}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}\right)$

   而當 $n$ 是2 的冪（$2,4,8,\ldots$）時就沒有奇因數了，$a^{n}+b^{n}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可分解 —— 儘管像 $a^{4}+4b^{4}$ 這類特殊形式仍可透過蘇菲・熱爾曼恆等式分解。