用 2x + 1 去除 2x³ + x² − 4x − 2。

Step-by-step solution

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   先把長除法擺好。 兩個多項式都按降冪排列，而且沒有缺項，所以不必補零占位。用最高次項除最高次項：

   $\frac{2x^{3}}{2x}=x^{2}.$

   注意這裡用綜合除法會很彆扭，因為除式的最高次項係數不是 1；普通長除法則不需要任何縮放，直接就處理得了那個 $2$。

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   乘回去再相減。 用除式乘上商的第一項：

   $x^{2}(2x+1)=2x^{3}+x^{2},$

   相減之後前兩項什麼都不剩：

   $\left(2x^{3}+x^{2}\right)-\left(2x^{3}+x^{2}\right)=0.$

   把剩下的項落下來，新的被除式就是 $-4x-2$。

3. 3

   對剩下的部分再來一次。 又是最高次項相除：

   $\frac{-4x}{2x}=-2,\qquad -2(2x+1)=-4x-2,$

   相減得 $0$。除法到此終止，餘式為零，可見 $2x+1$ 確實是一個因式。

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   用分組分解確認一次。 同樣的結果根本不必做除法就能得到：

   $2x^{3}+x^{2}-4x-2=x^{2}(2x+1)-2(2x+1)=(2x+1)\left(x^{2}-2\right).$

   只要看出前兩項與後兩項各藏著一個 $2x+1$ 就行 —— 三次式一旦有這種成對結構，分組比長除法快得多。

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   寫出答案並檢驗。 商是

   $\frac{2x^{3}+x^{2}-4x-2}{2x+1}=x^{2}-2,\qquad x\neq-\tfrac12.$

   順帶一提，完整的因式分解是 $(2x+1)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$，所以三個根是 $-\tfrac12$ 與 $\pm\sqrt2$。取 $x=2.3$ 做數值檢驗：商給出 $3.29$，原式的比值也是 $3.29$ ✓。