曲線 C 通過原點，C 上每一點的 x 座標都大於 −1，且 C 上每一點到 F(1, 0) 的距離與到直線 x = a（其中 a < 0）的距離乘積都等於 1。求 a。

Step-by-step solution

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   先把兩段距離寫成代數式。 對點 $P(x,y)$ 而言，

   $|PF|=\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}},\qquad \operatorname{dist}(P,\ x=a)=|x-a|$

   整條曲線都落在那條鉛直線的右側（曲線上的點滿足 $x>-1$，而 $a<0$），所以 $x-a>0$，絕對值可以直接拿掉：

   $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\,(x-a)=1$

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   善用題目唯一給出的具體點。 這個條件在 $C$ 的每一點上都成立，而題目真正點名的只有原點。代入 $x=0$、$y=0$，就把一個對全曲線的條件變成關於 $a$ 的單一方程式——這就是整題的核心想法。

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   代入原點。

   $\sqrt{(0-1)^{2}+0^{2}}\cdot(0-a)=1\quad\Longrightarrow\quad 1\cdot(-a)=1$

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   解出 a。

   $-a=1\quad\Longrightarrow\quad a=-1$

   這與題目要求的 $a<0$ 一致 ✓。

   $\boxed{a=-1}$

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   檢查一開始的符號假設成立。 取 $a=-1$，那條直線就是 $x=-1$，而題目說 $C$ 上每一點都滿足 $x>-1$，所以整條曲線上 $x-a=x+1>0$，把絕對值拿掉是合法的 ✓。因此曲線的方程式是

   $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\,(x+1)=1$

   平方後得到 $(x+1)^{2}\left[(x-1)^{2}+y^{2}\right]=1$。

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   驗證原點確實在這條曲線上。 在 $(0,0)$：$(1)^{2}\left[1+0\right]=1$ ✓，所以推導出來的方程式真的通過 $O$，也就確認了 $a$ 的值。