解不等式 |x − 1| / (x² − 4) ≥ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先從定義域開始。 分母不能為零：

   $x^2-4=(x-2)(x+2)\neq 0\ \Longrightarrow\ x\neq 2,\ x\neq -2$

   不論後面分析出什麼結果，這兩點都不可能出現在答案裡。

2. 2

   利用分子正負號固定這件事。 對每個實數 $x$ 都有 $|x-1|\ge 0$，而且只有在 $x=1$ 時才等於 $0$。所以分子絕不會讓這個分式變成負的 —— 除了分子為零的那一點以外，分式的正負完全由分母決定。

3. 3

   情況 A：分式嚴格為正。 這需要 $|x-1|>0$（也就是 $x\neq 1$），同時 $x^2-4>0$。因式分解後，$(x-2)(x+2)>0$ 在兩個因式同負或同正時成立：

   $x<-2\quad\text{或}\quad x>2$

   由於 $x=1$ 不落在這兩個區域裡，整個 $(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$ 都符合。

4. 4

   情況 B：分式恰好為零。 分式為零的條件是分子為零、而分母不為零：

   $|x-1|=0\Rightarrow x=1,\qquad 1^2-4=-3\neq 0\ \checkmark$

   因為不等號是 $\ge 0$ 而不是 $>0$，這個單獨的點是解，即使它落在分式其餘部分皆為負的區間 $(-2,2)$ 之內。

5. 5

   把 $(-2,2)$ 的其餘部分排除。 在那裡 $x^2-4<0$ 而 $|x-1|>0$，所以分式嚴格為負 —— 例如在 $x=0$ 它是 $\tfrac{1}{-4}=-0.25$。$(-2,2)$ 裡除了 $x=1$ 以外每一點都不合格。

6. 6

   把各情況合起來。

   $(-\infty,-2)\cup\{1\}\cup(2,\infty)$

   $1$ 外面那對孤零零的大括號不是筆誤：當非負的分子在一段負值區域裡剛好有一個零點時，「$\ge$」產生的正是這種解集中的孤立點。