解方程式 x³ − 6x² + 11x − 6 = 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先移項到同一邊，再檢驗有理根。 方程式是 $x^3 - 6x^2 + 11x - 7 = 0$，所以有理候選值就是 $7$ 的因數：

   $f(1) = -1, \quad f(-1) = -25, \quad f(7) = 119, \quad f(-7) = -721$

   沒有一個為零。留意常數由 $-6$ 變成 $-7$ 之後，原本左式那個漂亮的因式分解就毀了——$x = 1$ 現在剛好差 $1$。

2. 2

   善用左式的結構。 出現的這個多項式，正是三個連續一次因式相乘的經典形式：

   $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)$

   所以方程式其實是 $(x-1)(x-2)(x-3) = 1$——三個彼此相差 1 的因式，乘積等於 $1$。

3. 3

   把代換的中心放在中間那個因式上。 令 $y = x - 2$，三個因式就變成 $y+1$、$y$、$y-1$：

   $(y+1)\,y\,(y-1) = y\left(y^2-1\right) = y^3 - y$

   $\Longrightarrow \quad y^3 - y = 1, \quad \text{也就是} \quad y^3 - y - 1 = 0$

   把原點平移到這些因式的對稱中心，就免費消掉了二次項——完全不必做卡丹那套消項代數。

4. 4

   數一數這條化簡後三次式的實根個數。 對 $y^3 + py + q$，取 $p = -1$、$q = -1$，判別式是

   $\Delta = -4p^3 - 27q^2 = 4 - 27 = -23 < 0$

   所以 $y^3 - y - 1 = 0$ 恰有一個實根與一對共軛複根。那個實根就是塑膠數 $\rho$。

5. 5

   求出實根的值。 卡丹公式給出

   $\rho = \sqrt[3]{\frac12 + \sqrt{\frac{23}{108}}} + \sqrt[3]{\frac12 - \sqrt{\frac{23}{108}}} = 1.3247179572\ldots$

   對 $y^3 - y - 1$ 從 $y_0 = 1.3$ 出發跑牛頓法，會得到相同到 39 位數的值，兩條路徑一致。

6. 6

   還原代換並檢驗。 因為 $x = y + 2$，

   $x = 2 + \rho \approx 3.3247179572$

   代回原式：$(x-1)(x-2)(x-3) \approx (2.3247)(1.3247)(0.3247) = 1.0000$，而用 40 位精度計算 $x^3-6x^2+11x-6$ 得到 $0.99999999999999999999999999999999999999$。實數解只有這一個。