解方程式 40x + 30x + 30x + 2x² = 450。

Step-by-step solution

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   把一次項合併。 三項的 $x$ 次方都相同：

   $40x + 30x + 30x = 100x \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 + 100x = 450$

2. 2

   全部移到同一邊，並約掉公因數。

   $2x^2 + 100x - 450 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 50x - 225 = 0$

   除以 $2$ 讓首項係數變成一，不論是找因式還是代公式都更簡單。

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   先試試看能不能在整數範圍內分解。 要能分解，就得找到乘積為 $-225$、和為 $50$ 的兩個整數。$225$ 的因數對有 $(1,225), (3,75), (5,45), (9,25), (15,15)$，對應的和是 $\pm224, \pm72, \pm40, \pm16, 0$ —— 沒有一個是 $50$。所以整數分解不存在，必須用公式解。

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   代入公式解。 取 $a = 1$、$b = 50$、$c = -225$：

   $b^2 - 4ac = 2500 + 900 = 3400, \qquad \sqrt{3400} = 10\sqrt{34} \approx 58.309519$

   $x = \frac{-50 \pm 10\sqrt{34}}{2} = -25 \pm 5\sqrt{34}$

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   算出兩個根。

   $x_1 = -25 + 5\sqrt{34} \approx 4.154759, \qquad x_2 = -25 - 5\sqrt{34} \approx -54.154759$

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   驗算，並排除一個常見的錯誤答案。 對 $x_1$：$2(4.154759)^2 + 100(4.154759) = 34.52404 + 415.47590 = 449.99994$。對 $x_2$：$5865.47584 - 5415.47590 = 449.99994$（差的那一點點只是 $\sqrt{34}$ 的捨入誤差）。根與係數關係也吻合 —— 和 $= -50$、積 $= -225$。常見的答案 $x = 5$ 或 $x = -55$ 是錯的：兩者都會讓 $2x^2 + 100x = 550$ 而不是 $450$，因為 $55 \times (-5) = -275$ 而不是 $-225$。