解方程式：以 3 為底 (2x^2 + 13x + 23) 的對數，除以以 3 為底 (x + 5) 的對數，等於 1，並求其根之和。

Step-by-step solution

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   先寫定義域，因為分母藏了兩個不同的條件。 兩個對數的真數都必須為正，而且分母不能為零：

   $x+5>0,\qquad \log_3(x+5)\neq 0\ \Rightarrow\ x+5\neq 1,\qquad 2x^2+13x+23>0.$

   前兩式給出 $x>-5$ 且 $x\neq -4$。

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   單獨檢查那個二次真數——結果它是白送的。 它的判別式為

   $D=13^2-4\cdot 2\cdot 23=169-184=-15<0,$

   而首項係數為正，所以對每個實數 $x$ 都有 $2x^2+13x+23>0$。這個條件等於沒有限制，因此定義域就是 $x>-5$、$x\neq-4$。

3. 3

   把兩個對數的商認出來是換底公式。 因為 $\dfrac{\log_3 A}{\log_3 B}=\log_B A$，方程式其實是說

   $\log_{x+5}\left(2x^2+13x+23\right)=1.$

   對數值等於 $1$ 的充要條件是真數等於底數，所以我們可以直接把對數拿掉，不必做兩次指數運算。

4. 4

   解出得到的二次方程式。 令真數等於底數：

   $2x^2+13x+23=x+5\ \Longrightarrow\ 2x^2+12x+18=0\ \Longrightarrow\ x^2+6x+9=0\ \Longrightarrow\ (x+3)^2=0,$

   所以 $x=-3$ 是這個二次方程式的重根。

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   檢驗候選解並求根之和。 $x=-3$ 滿足 $x>-5$ 與 $x\neq-4$，代回原式得 $\log_3 2/\log_3 2=1$，確實是真正的解。雖然二次方程式把 $x=-3$ 算了兩次，原方程式其實只有一個根，因此根之和為

   $-3.$