設 A = [[9,1,1],[1,2,1],[1,18,1]]、C = [[10,2,2],[2,3,2],[2,19,2]]，求 (A + C)^2。

Step-by-step solution

1. 1

   先相加再平方，不要去展開二項式。 很容易想寫成 $(A+C)^2=A^2+2AC+C^2$，但那個恆等式需要 $AC=CA$，而矩陣一般並不滿足這個條件。先相加就完全避開這個問題，計算量也少得多。

2. 2

   把兩個矩陣逐元素相加。 兩者都是 $3\times 3$，所以和有定義：

   $S=A+C=\begin{pmatrix}19&3&3\\3&5&3\\3&37&3\end{pmatrix}$

3. 3

   把平方安排成 S·S。 $S^2$ 的每個元素，都是 $S$ 的某一列與 $S$ 的某一行的內積。$S$ 的三個行分別是 $(19,3,3)$、$(3,5,37)$ 與 $(3,3,3)$。

4. 4

   算出第一列。

   $(19,3,3)\cdot(19,3,3)=361+9+9=379$

   $(19,3,3)\cdot(3,5,37)=57+15+111=183$

   $(19,3,3)\cdot(3,3,3)=57+9+9=75$

5. 5

   算出第二列與第三列。

   $(3,5,3)\cdot(19,3,3)=57+15+9=81,\quad (3,5,3)\cdot(3,5,37)=9+25+111=145,\quad (3,5,3)\cdot(3,3,3)=33$

   $(3,37,3)\cdot(19,3,3)=57+111+9=177,\quad (3,37,3)\cdot(3,5,37)=9+185+111=305,\quad (3,37,3)\cdot(3,3,3)=129$

6. 6

   組合出結果。

   $\boxed{(A+C)^{2}=\begin{pmatrix}379&183&75\\81&145&33\\177&305&129\end{pmatrix}}$

7. 7

   快速檢查第三行。 $S$ 第三行的每個元素都等於 $3$，所以 $S^2$ 的第三行必定是 $3\times$（$S$ 各列元素之和）：各列的和是 $25$、$11$、$43$，於是得到 $75$、$33$、$129$——與算出來的值吻合，算術無誤。