把函數 F(x) = 2|x + 6| − 1 向下平移 7 單位、向右平移 1 單位，寫出新函數的式子。

Step-by-step solution

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   先定位原來的頂點。 絕對值函數 $a|x-p|+q$ 的轉折點在 $(p,q)$。把 $2|x+6|-1$ 改寫成 $2|x-(-6)|+(-1)$，可見頂點在 $(-6,-1)$，鉛直拉伸倍率為 $2$。盯住頂點是檢驗最終答案最快的辦法。

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   做水平平移，注意方向。 圖形向右移 $1$ 單位，要把每一個 $x$ 都換成 $x-1$ —— 這一步最反直覺，因為括號裡的符號看來是反的：

   $2\bigl|(x-1)+6\bigr|-1=2|x+5|-1.$

   頂點從 $(-6,-1)$ 移到 $(-5,-1)$，正好右移一單位，說明代換的方向沒搞反。

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   做鉛直平移。 向下移 $7$ 單位，就是整個函數減去 $7$ —— 這個動作發生在絕對值外面，方向與直覺一致：

   $2|x+5|-1-7=2|x+5|-8.$

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   用頂點確認。 轉折點現在位於 $(-5,-8)$：相對 $(-6,-1)$ 恰好右移一單位、下移七單位，正是題目要求的。拉伸倍率 $2$ 沒有改變，因為平移從不改變圖形的形狀，兩條射線的斜率仍是 $\pm2$。

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   抽查一個點。 原圖形上 $F(-6)=2(0)-1=-1$。它在新圖形上的對應點應該是 $(-6+1,\,-1-7)=(-5,-8)$。代入答案驗證：$2|-5+5|-8=-8$ ✓。再在 $x=-3$ 處查一次：答案給出 $2(2)-8=-4$，而它的原像點是 $x=-4$，$F(-4)=2(2)-1=3$，$3-7=-4$ ✓。