k 取哪些值時，聯立方程式 x + 2y − 2z = 0、2x − y + kz = 0、3x + y − z = 0 有非零解？請分別寫出各種情形的所有解。

Step-by-step solution

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   先看清楚這是哪一類聯立。 三式的右邊都是 $0$，所以這是齊次聯立，$(0,0,0)$ 永遠是解。真正的問題是有沒有其他解，而那恰好發生在係數行列式為零的時候。

2. 2

   用不含 $k$ 的那兩式來消去。 第一式與第三式的係數全都是已知數，所以先拿它們來處理。由第三式，

   $y=z-3x,$

   代入第一式：

   $x+2(z-3x)-2z=x+2z-6x-2z=-5x=0\;\Longrightarrow\;x=0.$

   也就是說，不論 $k$ 取什麼值都有 $x=0$ —— 參數救不了第一個分量。

3. 3

   把 $x=0$ 代回整個聯立。 代入 $x=0$ 後，第三式給出 $y=z$，第二式變成

   $-y+kz=0\;\Longrightarrow\;-z+kz=0\;\Longrightarrow\;(k-1)z=0.$

   現在一切都取決於因式 $k-1$ 是不是零。

4. 4

   分成兩種情形討論。 若 $k\neq 1$，則 $k-1\neq 0$ 迫使 $z=0$，於是 $y=0$，唯一的解就是零解：

   $(x,y,z)=(0,0,0).$

   若 $k=1$，式子 $(k-1)z=0$ 自動成立，因此 $z=t$ 可以自由取值，而 $y=t$、$x=0$：

   $(x,y,z)=(0,t,t),\qquad t\in\mathbb{R}.$

5. 5

   用行列式確認。 把係數行列式沿第一列展開，

   $\begin{vmatrix}1&2&-2\\2&-1&k\\3&1&-1\end{vmatrix}=1(1-k)-2(-2-3k)-2(2+3)=1-k+4+6k-10=5k-5=5(k-1).$

   它恰好在 $k=1$ 時為零，與上面的分類完全吻合。$k=1$ 時快速驗算一下：取 $(0,1,1)$ 得 $0+2-2=0$ ✓、$0-1+1=0$ ✓、$0+1-1=0$ ✓。