一隻蝸牛從一棵樹爬到另一棵樹，每天都比前一天多爬固定的距離。第一天與最後一天合計爬了 10 公尺。兩棵樹相距 150 公尺。這趟路程共花了幾天？

Step-by-step solution

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   先辨認這是什麼數列。 「每天多爬固定的距離」代表每日距離 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 形成一個等差數列。總距離就是這個數列的和，而題目給出總和為 $150$ 公尺。

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   挑一個與已知條件相合的求和公式。 兩個標準公式是

   $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\qquad\text{與}\qquad S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

   題目直接給了 $a_1+a_n=10$，所以用第一個形式完全不需要知道 $a_1$ 或公差 $d$ —— 這正是為何條件這麼少也解得出來。

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   代入。

   $150=\frac{10}{2}\cdot n=5n$

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   解出 n。

   $n=\frac{150}{5}=30$

   $\boxed{30\ \text{天}}$

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   用一個具體的數列檢驗。 任何滿足 $a_1+a_{30}=10$ 的等差數列都行 —— 例如 $a_1=1$、$a_{30}=9$，則 $d=\tfrac{9-1}{29}=\tfrac{8}{29}$。它的和是 $\tfrac{1+9}{2}\cdot 30=150$ 公尺 ✓。每天各爬多少並沒有被決定，但天數被決定了，因為求和公式只看得到 $a_1+a_n$ 這一對的和。