某道食譜第 1 天用了 105 毫升醬料、第 2 天用了 85 毫升。從第 3 天起，每天用量是前兩天用量的平均。第 19 天用量的整數部分是多少？

Step-by-step solution

1. 1

   改用相鄰兩項的差來處理，不要直接看每一項。 遞迴式兩邊同減 $a_{n-1}$：

   $a_n-a_{n-1}=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}-a_{n-1}=-\frac{a_{n-1}-a_{n-2}}{2}$

   所以每個差恰好是前一個差的 $-\tfrac12$ 倍。把二項遞迴變成單項的等比遞迴，正是不必逐項列出就能算到第 $19$ 項的關鍵。

2. 2

   把差明確寫出來。 第一個差是 $a_2-a_1=-20$，所以

   $a_{n}-a_{n-1}=-20\left(-\frac12\right)^{n-2}$

   正負交替就是各項會來回擺動（$105,\ 85,\ 95,\ 90,\ 92.5,\dots$）而不是單向前進的原因。

3. 3

   把等比級數加起來求極限。 從 $a_1$ 開始把所有差加上去：

   $L=105+\sum_{k=0}^{\infty}(-20)\left(-\frac12\right)^{k}=105-\frac{20}{1+\frac12}=105-\frac{40}{3}=\frac{275}{3}$

   等價地 $L=\dfrac{a_1+2a_2}{3}$：這是把較新的一項算兩次的加權平均，因為遞迴式讓 $a_{n-1}+2a_n$ 保持不變（是一個不變量）。答案不是 $2a_2-a_1$。

4. 4

   寫出一般式。 由於與 $L$ 的偏差每一步都乘上 $-\tfrac12$，

   $a_n=L+(a_1-L)\left(-\frac12\right)^{n-1}=\frac{275}{3}+\frac{40}{3}\left(-\frac12\right)^{n-1}$

   在 $n=2$ 驗算：$\tfrac{275}{3}-\tfrac{20}{3}=85$。正確。

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   代入 $n=19$。 指數 $18$ 是偶數，所以修正項為正：

   $a_{19}=\frac{275}{3}+\frac{40}{3}\cdot\frac{1}{2^{18}}=\frac{3003735}{32768}\approx 91.66672$

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   取整數部分。 因為 $91<a_{19}<92$，整數部分是 $91$。直接用分數精確迭代遞迴式，也會得到 $a_{19}=\tfrac{3003735}{32768}$，印證了一般式無誤。