化簡分式 (2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸) / (2¹⁰ + 5 · 2⁹)。

Step-by-step solution

1. 1

   不要把次方算成數字。 你當然可以算成 $1024+512+256=1792$ 除以 $1024+2560=3584$，但這題的用意在於那個「指數換成字母也照樣管用」的技巧。要提公因式，不要乘開來。

2. 2

   把分子裡最小的 2 的次方提出來。 三個指數是 $10,9,8$，最小的是 $2^{8}$：

   $2^{10}+2^{9}+2^{8}=2^{8}\left(2^{2}+2^{1}+1\right)=2^{8}(4+2+1)=7\cdot 2^{8}$

3. 3

   分母也提出最小的 2 的次方。 這裡的指數是 $10$ 與 $9$，所以提出 $2^{9}$：

   $2^{10}+5\cdot 2^{9}=2^{9}\left(2+5\right)=7\cdot 2^{9}$

   係數 $5$ 依然跟著自己那一項，所以括號內是 $2+5=7$。

4. 4

   把共同的因式約掉。 兩個括號都生出一個 $7$，而 2 的次方則相減：

   $\frac{7\cdot 2^{8}}{7\cdot 2^{9}}=\frac{2^{8}}{2^{9}}=2^{8-9}=2^{-1}=\frac{1}{2}$

5. 5

   用數值確認。 $\dfrac{1792}{3584}=\dfrac{1}{2}$ 恰好相等，與提公因式的結果一致。兩個括號都冒出 $7$，正是這個分式收得如此乾淨的原因。