解 −4.7714x² − 0.0884x + 10.014 = 0，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先認出係數。 令 $y=0$ 就得到標準式的二次方程式，其中

   $a=-4.7714,\qquad b=-0.0884,\qquad c=10.014$

   因為 $a<0$，拋物線開口向下；又因為 $c>0$，圖形在 $x=0$ 處已經位於橫軸上方——所以可以預期有兩個實根，分別落在原點兩側。

2. 2

   算判別式。

   $\Delta=b^2-4ac=(-0.0884)^2-4(-4.7714)(10.014)=0.007815+191.123=191.13101$

   它是正的，確認有兩個相異實根。注意 $b^2$ 比 $-4ac$ 小得多；一次項幾乎影響不了結果。

3. 3

   套用公式解。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{0.0884\pm\sqrt{191.13101}}{-9.5428}=\frac{0.0884\pm 13.82501}{-9.5428}$

   分母是負的，所以取加號那一支反而得到較小的根——這是開口向下的拋物線特有的正負號陷阱。

4. 4

   兩支各算一次。

   $x_1=\frac{0.0884+13.82501}{-9.5428}=-1.45800,\qquad x_2=\frac{0.0884-13.82501}{-9.5428}=1.43947$

5. 5

   用根與係數關係檢查。 兩根之和必須是 $-\tfrac{b}{a}=-\tfrac{-0.0884}{-4.7714}=-0.018527$，而 $-1.45800+1.43947=-0.01853\;\checkmark$。兩根之積必須是 $\tfrac{c}{a}=\tfrac{10.014}{-4.7714}=-2.09876$，而 $(-1.45800)(1.43947)=-2.09875\;\checkmark$。若把兩根寫成 $-1.4576$ 與 $1.4380$，這兩項檢查都會在小數第四位過不了關。