描述並畫出由不等式 x² + y² ≤ 9 與 y ≤ x + 1 所決定的平面區域，並求出邊界直線與圓的交點。

Step-by-step solution

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   把第一個不等式看成一個實心圓盤。 方程式 $x^{2}+y^{2}=9$ 表示以原點為圓心、半徑 $\sqrt{9}=3$ 的圓。因為不等號是 $\leq$，區域是這個圓連同它的內部——一個閉圓盤。圓要畫成實線，表示邊界包含在內。

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   把第二個不等式看成一個閉半平面。 邊界 $y=x+1$ 是斜率 $1$、通過 $(0,1)$ 與 $(-1,0)$ 的直線。由於 $y\leq x+1$，我們保留直線下方那一側；用原點檢驗，$0\leq 0+1$ 成立，所以含 $(0,0)$ 的那個半平面才是對的。這條直線也要畫成實線。

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   求邊界直線與圓的交點。 把 $y=x+1$ 代入 $x^{2}+y^{2}=9$：

   $x^{2}+(x+1)^{2}=9\ \Longrightarrow\ 2x^{2}+2x+1=9\ \Longrightarrow\ 2x^{2}+2x-8=0\ \Longrightarrow\ x^{2}+x-4=0$

   由公式解得

   $x=\frac{-1\pm\sqrt{1+16}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$

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   換算成兩個交點的座標。 把每個根代回 $y=x+1$：

   $\left(\frac{-1+\sqrt{17}}{2},\ \frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)\quad\text{與}\quad\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\ \frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)$

   它們的近似值約為 $(1.5616,\,2.5616)$ 與 $(-2.5616,\,-1.5616)$；把任一個代入 $x^{2}+y^{2}$ 都恰好得到 $9.0$，說明兩點確實都在圓上。又因為判別式 $17>0$，這條直線是真正的割線，而不是切線。

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   描述最後得到的區域。 答案是這個閉圓盤中較大的那一塊：半徑 $3$ 的圓內或圓上，且同時位於直線 $y=x+1$ 上或下方的所有點。連接兩個交點的弦切下了直線上方那一小塊弓形，而這塊弓形是圓盤裡唯一被排除的部分。兩段邊界——圓弧與那條弦——都屬於這個區域，因為兩個不等式都是非嚴格的。