解 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   列出可能的有理根。 對整係數的首一多項式，任何有理根都必須整除常數項 $-6$：

   $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6$

   這裡正的候選比較可能中：係數串 $1, -6, 11, -6$ 裡全是變號，提示根是正的（笛卡兒符號法則允許有三個或一個正根）。

2. 2

   代入找出第一個根。 試 $x = 1$：

   $1 - 6 + 11 - 6 = 0 \ \checkmark$

   所以 $x = 1$ 是一個根，由因式定理，$(x - 1)$ 恰好整除這個三次式。

3. 3

   用綜合除法除掉已知因式。

   $\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}$

   餘式為零既確認了這個根，最後一列也給出了降次後的二次式：

   $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$

4. 4

   分解這個二次式。 兩數之積為 $6$、之和為 $-5$，即 $-2$ 與 $-3$：

   $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

   所以完整的因式分解是

   $(x-1)(x-2)(x-3) = 0$

5. 5

   套用零乘積性質並檢驗。 乘積為零，只可能是某個因式為零，所以

   $x = 1, \quad x = 2, \quad x = 3$

   把它們逐個代回原式：$8 - 24 + 22 - 6 = 0$，$27 - 54 + 33 - 6 = 0$。再進一步核對：由根與係數關係，三根之和應為 $-(-6)/1 = 6$，而 $1 + 2 + 3 = 6$；三根之積應為 $-(-6)/1 = 6$，而 $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$。