有人一共花 240 元買筆。如果同樣的錢多買一支，每支平均會便宜 1 元。他買了幾支筆？

Step-by-step solution

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   選一個能讓價格好寫的未知數。 設 $x$ 為實際買到的筆數。那麼實際的平均單價是

   $\frac{240}{x}$

   選數量而不是選價格當未知數，才能把整個代數壓在單一變數上。

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   寫出假設情況下的價格。 同樣的錢多買一支，數量變成 $x + 1$，單價變成

   $\frac{240}{x+1}$

   同樣的總價買到更多支，單價就更低，所以第二個式子是兩者中比較小的。

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   把比較關係化成方程式。 假設情況的單價比實際單價少 $1$ 元，所以實際單價減去假設單價等於 $1$：

   $\frac{240}{x} - \frac{240}{x+1} = 1$

   這個減法的前後順序很重要——寫反了會得到 $-1$，就找不到正的解。

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   通分並去分母。

   $240\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) = 240 \cdot \frac{(x+1) - x}{x(x+1)} = \frac{240}{x(x+1)} = 1$

   所以

   $x(x+1) = 240 \ \Longrightarrow \ x^2 + x - 240 = 0$

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   分解並解這個二次方程式。 乘積為 $-240$、和為 $1$ 的兩個數是 $16$ 與 $-15$：

   $x^2 + 16x - 15x - 240 = x(x+16) - 15(x+16) = (x+16)(x-15) = 0$

   $x = -16 \quad \text{或} \quad x = 15$

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   捨棄不合理的根並檢驗。 筆的數量不可能是負的，所以捨去 $x = -16$，得 $x = 15$。對照題意檢驗：$240/15 = 16$ 元一支，多買一支則 $240/16 = 15$ 元一支——正好少 $1$ 元。所以他買了 15 支筆。