設 W₁、W₂ 是 n 維歐氏空間 V 的子空間，且 dim W₁ < dim W₂。證明 W₂ 中存在一個非零向量，與 W₁ 的每個向量都正交。

Step-by-step solution

1. 1

   把目標改寫成「核不平凡」。「存在非零的 $v\in W_2$ 與 $W_1$ 中所有向量正交」正好等價於

   $W_2\cap W_1^{\perp}\ne\{0\}.$

   把存在性的敘述轉成維度的敘述，問題就變成例行公事：維度可以數，個別向量數不了。

2. 2

   造一個線性映射，讓它的核正好是所求的集合。 定義

   $T:W_2\to W_1^{*},\qquad T(x)(y)=\langle x,y\rangle\ \ \text{對 }y\in W_1.$

   $T$ 對 $x$ 是線性的，因為內積本身就是線性的。它把 $W_2$ 中的每個向量，送到該向量在 $W_1$ 上誘導出的線性泛函。

3. 3

   認出這個核。 恰好當 $\langle x,y\rangle=0$ 對每個 $y\in W_1$ 都成立時，$T(x)$ 才是零泛函，所以

   $\ker T=\{x\in W_2:\;x\perp W_1\}=W_2\cap W_1^{\perp}.$

   於是只要證出 $\ker T\ne\{0\}$，定理就成立了。

4. 4

   估計像的維度。 $T$ 的像落在 $W_1^{*}$ 之中，而 $\dim W_1^{*}=\dim W_1$，所以

   $\dim(\operatorname{Im}T)\le \dim W_1.$

   這是整個論證裡唯一用到題目假設的地方，也是嚴格不等式發揮作用之處。

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   套用秩—零度定理。 因為 $\dim W_2=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)$，

   $\dim(\ker T)=\dim W_2-\dim(\operatorname{Im}T)\ge \dim W_2-\dim W_1\ge 1,$

   最後一步用到了 $\dim W_2>\dim W_1$。維度至少為 $1$ 的空間必含非零向量，因此 $W_2$ 中存在 $v\ne 0$，使得 $\langle v,y\rangle=0$ 對所有 $y\in W_1$ 成立。$\blacksquare$

6. 6

   確認界是緊的、假設不能省。 這個論證其實給出了一整個由正交向量組成的子空間，維度至少是 $\dim W_2-\dim W_1$。嚴格不等式不能拿掉：在 $\mathbb{R}^{2}$ 中取 $W_1=W_2=\operatorname{span}\{(1,0)\}$，兩者維度相同，此時 $W_2$ 中與 $W_1$ 正交的向量只有 $0$。