解不等式 (2x + 1)(3x − 1)² 除以 (x³ × (√2 − 1)) 小於或等於 0。

Step-by-step solution

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   先處理那個常數因子。 $\sqrt2\approx 1.4142>1$，所以 $\sqrt2-1>0$。除以一個正的常數不會改變不等號的方向，因此可以直接把它丟掉：

   $\frac{(2x+1)(3x-1)^{2}}{x^{3}}\le 0.$

2. 2

   按每個因式對正負號的影響給它們分類。 臨界值是 $x=-\tfrac12$、$x=0$ 與 $x=\tfrac13$。

   • $(2x+1)$ 在 $-\tfrac12$ 處變號；
   • $(3x-1)^{2}$ 是偶次方，所以處處 $\ge 0$，永遠不會翻轉正負號——它只在 $\tfrac13$ 處取零；
   • $x^{3}$ 是奇次方，所以在 $0$ 處翻轉正負號，和 $x$ 完全一樣；
   • $x=0$ 不在定義域內。
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   化歸成一個更簡單的商式的正負號問題。 在 $x=\tfrac13$ 之外，因式 $(3x-1)^2$ 嚴格為正，所以在數線的其餘部分上，原不等式與下式的正負號表現完全一致：

   $\frac{2x+1}{x}\le 0.$

4. 4

   在被 −1/2 與 0 切開的區間上列符號表。

   $x<-\tfrac12:\ \tfrac{(-)}{(-)}=+\quad;\quad -\tfrac12<x<0:\ \tfrac{(+)}{(-)}=-\quad;\quad x>0:\ \tfrac{(+)}{(+)}=+.$

   所以這個商恰好在 $\left(-\tfrac12,0\right)$ 上為負。

5. 5

   再補上取等的情形。 不等式是非嚴格的，所以凡是式子有定義且等於零的點都要算進來：$x=-\tfrac12$（來自 $2x+1=0$）與 $x=\tfrac13$（來自 $(3x-1)^2=0$）。而 $x=0$ 依然排除，因為分母在那裡為零。

6. 6

   寫出解。

   $x\in\left[-\tfrac12,\,0\right)\cup\left\{\tfrac13\right\}.$

   孤立點 $\tfrac13$ 是這道題最值得記住的地方：偶次因式不帶來正負號變化，但在非嚴格不等式裡，它的根依然會作為一個單獨的解冒出來。抽查也印證了這一點——$x=\tfrac13$ 時式子為 $0$，而 $x=0.4$ 時它是正的。