解不等式 2^x/(2^x − 3) + (2^x + 1)/(2^x − 2) + 5/(4^x − 5·2^x + 6) ≤ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   **令 $t=2^x$ 並改寫 $4^x$。**因為 $4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2$，整個式子成為 $t$ 的分式：$\frac{t}{t-3}+\frac{t+1}{t-2}+\frac{5}{t^2-5t+6}\le 0$，其中 $t>0$，因為 $2^x$ 恆為正。

2. 2

   把第三個分母因式分解，讓三個分式共用它。$t^2-5t+6=(t-2)(t-3)$，恰好是前兩個分母的乘積。因此定義域要排除 $t=2$ 與 $t=3$。

3. 3

   **通分成 $(t-2)(t-3)$。**分子是 $t(t-2)+(t+1)(t-3)+5=(t^2-2t)+(t^2-2t-3)+5=2t^2-4t+2$，所以不等式成為 $\frac{2t^2-4t+2}{(t-2)(t-3)}\le 0$。

4. 4

   認出這是完全平方。$2t^2-4t+2=2(t^2-2t+1)=2(t-1)^2$，永遠不是負數。這一個觀察就決定了整題：商要 $\le 0$，只能靠分子為零，或者分母為負。

5. 5

   **分兩種情況處理。**分子為零給出 $t=1$，而此時 $(1-2)(1-3)=2\neq 0$，所以 $t=1$ 是有效的解。分母為負表示 $(t-2)(t-3)<0$，也就是 $2<t<3$。合起來：$t=1$ 或 $2<t<3$。

6. 6

   換回 $x$。$t=1$ 表示 $2^x=1$，所以 $x=0$。而 $2<2^x<3$ 這一段給出 $1<x<\log_2 3\approx 1.585$，這裡用到 $2^x$ 遞增以及 $2^1=2$。

7. 7

   **驗證那個孤立的點。**在 $x=0$ 得到 $\frac{1}{1-3}+\frac{2}{1-2}+\frac{5}{1-5+6}=-\tfrac12-2+\tfrac52=0$，滿足不嚴格的不等式，確認 $x=0$ 是真正的孤立解，而不是多出來的假根。