解方程式 x³ − 3x² + 3x − 1 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   把係數當成一列二項式係數來讀。 它們的絕對值 $1,\ 3,\ 3,\ 1$ 是巴斯卡三角形的第 3 列，而正負號是交替的。這恰好就是下面這個展開式的樣子：

   $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

2. 2

   把 a 和 b 對上。 取 $a = x$、$b = 1$，每一項都能重現出來：$x^3 - 3x^2(1) + 3x(1)^2 - 1^3$。於是

   $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3$

   看出這一點，就省掉了整套「試有理根再做除法」的流程。

3. 3

   解這個收攏後的方程式。 一個立方等於零，只能是底數等於零：

   $(x-1)^3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1$

4. 4

   說明根的重數。 根 $x = 1$ 的重數是 $3$，所以儘管三次方程式按重數計有三個根，相異的解卻只有一個。這裡 $f(1) = 0$，$f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 3 = 0$，$f''(1) = 6 - 6 = 0$ —— $f$、$f'$、$f''$ 在同一點同時為零，正是三重根在代數上的標誌。

5. 5

   驗算並留意圖形。 $1 - 3 + 3 - 1 = 0$。由於重數是奇數，曲線在 $x = 1$ 處是穿過 $x$ 軸而不是與它相切，但穿過時斜率為零，於是在那裡形成標誌性的平坦反曲點。