解四次方程式 0.0395m⁴ − 1.0636m³ + 8.1435m² − 11.8308m − 17.026 = 0。

Step-by-step solution

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   開始搜尋之前先估計根可能落在哪裡。 柯西界說每個根都滿足 $|m|\le 1+\max|a_k|/|a_4|=1+17.026/0.0395\approx 432$。這個界很寬鬆，但極小的首項係數本身就是警訊：整式除以 $0.0395$ 得到 $m^4-26.927m^3+206.16m^2-299.51m-431.04$，可見四根之和大約是 $26.9$，而且分布得很開。

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   在格點上掃描變號。 讓 $f(m)$ 從 $-3$ 到 $60$ 以 $0.1$ 為間隔取值，變號出現在 $(-0.9,-0.8)$、$(3.3,3.4)$、$(11.1,11.2)$ 與 $(13.3,13.4)$。四次方程式出現四次變號就代表有四個實根——已經沒有空間留給共軛複根，因為複根成對出現，而總共只有四個根。

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   對每個包夾區間用二分法逼到足夠精度。

   $m_1=-0.86460205,\quad m_2=3.37179569,\quad m_3=11.10472698,\quad m_4=13.31466166$

   每一個都細分到殘值 $|f(m)|$ 小於 $10^{-12}$ 為止。

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   用根與係數關係交叉檢查。 對 $a_4m^4+\cdots+a_0$，四根之和是 $-a_3/a_4=1.0636/0.0395=26.92658228$，四根之積是 $a_0/a_4=-17.026/0.0395=-431.03797468$。上面算出的四個根相加得 $26.92658228$ ✓，相乘得 $-431.03797468$ ✓ — 兩者都吻合到十位有效數字，所以沒有多出來的假根，也沒有漏掉的根。

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   把代入後不成立的答案剔除。 流傳頗廣的一組答案給 $m\approx-0.9365$ 與 $m\approx3.3065$，外加一對共軛複根 $12.2798\pm19.2988i$。代入檢查：$f(-0.9365)=+2.0996$、$f(3.3065)=-0.8396$，兩個都不是零，而那對聲稱的複根會把四根之和湊成 $26.93$，也只是碰巧接近。正確的答案是四個實根。