把 3x⁵ + 9x⁴ + 4x³ − 9x² − 15x − 10 完全分解，並列出它的實根。

Step-by-step solution

1. 1

   先找有理根。 可能的有理根是 $\pm\frac{p}{q}$，其中 $p\mid 10$、$q\mid 3$：$\pm1,\pm2,\pm5,\pm10,\pm\tfrac13,\pm\tfrac23,\pm\tfrac53,\pm\tfrac{10}{3}$。代入 $x=-2$：

   $3(-32)+9(16)+4(-8)-9(4)-15(-2)-10=-96+144-32-36+30-10=0,$

   所以 $x=-2$ 是根，$(x+2)$ 是因式。這個多項式硬湊分組是行不通的，所以先找根才是正確的開局。

2. 2

   用綜合除法除掉 $(x+2)$。 把係數 $3,\;9,\;4,\;-9,\;-15,\;-10$ 依序拉下來，每一步乘以 $-2$，得到 $3,\;3,\;-2,\;-5,\;-5$ 這一列，餘式為 $0$：

   $3x^{5}+9x^{4}+4x^{3}-9x^{2}-15x-10=(x+2)\left(3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5\right).$

   餘式為零就是根找對了的確認。

3. 3

   先說明四次式沒有有理根，再照樣把它拆成二次式。 在 $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5$ 裡代 $\pm1,\pm5,\pm\tfrac13,\pm\tfrac53$ 都不為零（例如 $x=-1$ 時的值是 $-2$），所以在 $\mathbb{Q}$ 上沒有更多一次因式。改設

   $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5=(3x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d).$

4. 4

   比對係數，解這個小聯立。 把乘積展開得到

   $3x^{4}+(3c+a)x^{3}+(3d+ac+b)x^{2}+(ad+bc)x+bd,$

   所以 $3c+a=3$、$3d+ac+b=-2$、$ad+bc=-5$、$bd=-5$。試 $b=-5$ 就逼出 $d=1$，接著 $c=1$、$a=0$ 同時滿足四個式子。因此

   $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5=(3x^{2}-5)(x^{2}+x+1).$

   展開檢查：$3x^{4}+3x^{3}+3x^{2}-5x^{2}-5x-5=3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5$ ✓。

5. 5

   組出完整的分解式，並讀出實根。

   $3x^{5}+9x^{4}+4x^{3}-9x^{2}-15x-10=(x+2)(3x^{2}-5)(x^{2}+x+1).$

   令每個因式為零：$x=-2$；$3x^{2}=5$ 給出 $x=\pm\sqrt{\tfrac53}=\pm\tfrac{\sqrt{15}}{3}\approx\pm1.290994$；而 $x^{2}+x+1$ 的判別式是 $1-4=-3<0$，不貢獻實根。所以實根恰好有三個。

6. 6

   用數值再確認一次。 對這個五次式做數值求根，得到 $-2$、$\pm1.2909944$，以及共軛複根 $-0.5\pm0.8660254i$——正是 $-\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt3}{2}i$，也就是本原三次單位根，與 $x^{2}+x+1$ 的預期完全吻合 ✓。