解不等式 √(3x − 1) > 2x。

Step-by-step solution

1. 1

   先求定義域。 根號內的式子必須非負：

   $3x-1\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge\frac13$

   以下所有推導都限制在 $x\ge\tfrac13$ 之內。

2. 2

   先確認右邊會不會是負的。 只有在兩邊都非負時，平方才是可逆的。在定義域 $x\ge\tfrac13>0$ 上有 $2x>0$，所以兩邊都是正的，平方是有效的等價變形——不必分情況討論。

3. 3

   兩邊平方。

   $3x-1>4x^{2}\quad\Longrightarrow\quad 0>4x^{2}-3x+1$

4. 4

   檢驗這個二次式能不能為負。 它的判別式是

   $(-3)^{2}-4(4)(1)=9-16=-7<0$

   而首項係數 $4$ 是正的，所以對每一個實數 $x$ 都有 $4x^{2}-3x+1>0$。因此所要求的 $4x^{2}-3x+1<0$ 根本沒有任何解。

5. 5

   下結論。

   $\boxed{\text{無解：解集是空集合}}$

6. 6

   取幾個點驗證，並看清原因。 當 $x=\tfrac13$：$\sqrt0=0$ 對上 $\tfrac23$——左邊輸了。當 $x=\tfrac12$：$\sqrt{0.5}=0.707$ 對上 $1$——輸。當 $x=1$：$\sqrt2=1.414$ 對上 $2$——輸。直線 $2x$ 在整個定義域上都比 $\sqrt{3x-1}$ 長得快，而由判別式的計算可知，即使在兩者最接近之處（$x=\tfrac{25}{48}$ 附近，那裡差距最小但仍為正），它也嚴格在上方。