解方程式 3x² − 48 = 0。

Step-by-step solution

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   注意到沒有 $x$ 項，所以用不著公式解。 形如 $ax^{2}+c=0$ 的方程式，只要把 $x^{2}$ 整理出來再開根號就好 —— 比代進公式快得多。先兩邊同加 $48$：

   $3x^{2}=48$

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   除以首項係數。 在開任何根號之前先兩邊同除以 $3$；直接對 $3x^{2}$ 開根號會留下一個礙眼的 $\sqrt{3}$：

   $x^{2}=16$

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   用平方根性質，兩個符號都要取。 若 $x^{2}=k$ 且 $k>0$，則 $x=\pm\sqrt{k}$ —— 有兩個解，因為平方會把正負號的資訊抹掉：

   $x=\pm\sqrt{16}=\pm4$

   只寫 $x=4$ 就漏掉一半答案。單獨的記號 $\sqrt{16}$ 指的是主（非負）平方根 $4$，所以 $\pm$ 必須由你自己補上去。

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   兩個根都代回原方程式驗算。 取 $x=4$：$3(16)-48=48-48=0$ ✓。取 $x=-4$：$3(-4)^{2}-48=3(16)-48=0$ ✓。注意 $(-4)^{2}=+16$ —— 負數的平方是正的，這正是負根同樣成立的原因。

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   用因式分解交叉驗證。 $3x^{2}-48=3(x^{2}-16)=3(x-4)(x+4)$，而乘積為零只可能是某個因式為零，於是 $x=4$ 或 $x=-4$ ✓。根與係數關係也吻合：兩根的和是 $0=-b/a$（本來就沒有 $x$ 項），乘積是 $-48/3=-16$ ✓。