分解 4x²y + 12xy + 9y。

Step-by-step solution

1. 1

   永遠先找公因式。 每一項都剛好含一個 $y$（而係數 $4,12,9$ 除了 $1$ 沒有共同因數），所以 $y$ 就是最大公因式：

   $4x^2y+12xy+9y=y\left(4x^2+12x+9\right)$

   跳過這一步、直接對雙變數三項式硬幹，會把問題弄得比實際上難很多。

2. 2

   檢查括號是不是完全平方式。 三項式 $A^2+2AB+B^2$ 要求頭尾兩項是平方，中間項是兩個平方根乘積的兩倍。這裡 $4x^2=(2x)^2$、$9=3^2$，所以檢查中間項：

   $2\cdot(2x)\cdot3=12x\ \checkmark$

   完全吻合。

3. 3

   寫成平方。

   $4x^2+12x+9=(2x+3)^2$

   兩個符號都是正的，所以括號裡是和不是差。（另一個獨立確認：判別式為 $144-4(4)(9)=144-144=0$，這正是重根的特徵。）

4. 4

   與公因式合併。

   $4x^2y+12xy+9y=y(2x+3)^2$

5. 5

   從這個形式讀出資訊。 因為 $(2x+3)^2\ge0$ 恆成立，整個式子的正負跟 $y$ 一致，而且恰好在 $y=0$ 或 $x=-\tfrac32$ 時為零。$x=-\tfrac32$ 是重根，代表（固定 $y>0$ 時的）拋物線在該處是相切而不是穿過。

6. 6

   數值驗證。 在 $[-5,5]$ 中隨機取 $50$ 組 $(x,y)$，原式與 $y(2x+3)^2$ 在每一點都吻合到機器精度 ✓。抽查 $x=1,y=2$：$8+24+18=50$，而 $2(5)^2=50$ ✓。