將 x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   認出這是等比和。 六項分別是 $x^0$ 到 $x^5$，公比為 $x$，所以當 $x\neq 1$ 時

   $1+x+x^2+x^3+x^4+x^5=\frac{x^6-1}{x-1}$

   這樣就把一個難處理的五次式，換成有現成分解公式的次方差。

2. 2

   把 $x^6-1$ 看成平方的立方差來分解。 讀成 $x^6=(x^3)^2$，得到

   $x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)$

3. 3

   用立方差與立方和分解這兩個三次式。

   $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\qquad x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$

4. 4

   約掉 $x-1$。 把上面的結果代回去，

   $\frac{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)}{x-1}=(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

   以多項式恆等式來看，這個約分是合法的——原來的五次式並沒有 $x-1$ 這個因式，因為代入 $x=1$ 得到的是 $6$ 而不是 $0$。

5. 5

   用直接分組再核對一次。 把各項配對，$x^4(x+1)+x^2(x+1)+(x+1)=(x+1)(x^4+x^2+1)$，而 $x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$（加減一個 $x^2$，湊成平方差）。走完全不同的路，答案一樣。

6. 6

   數值確認並檢查不可分解性。 代 $x=2$：原式是 $32+16+8+4+2+1=63$，而 $(3)(7)(3)=63$ ✓。兩個二次式的判別式都是 $1-4=-3<0$，在實數範圍都不能再分解——因式分解已經完成。