解不等式 55(x² − 25) > 35(24² − 25)，並給出精確邊界與其近似值。

Step-by-step solution

1. 1

   先把常數那一邊算出來。 右邊沒有未知數，所以在動 $x$ 之前先把它化成一個數字：

   $24^{2}=576,\qquad 576-25=551,\qquad 35\times551=19285.$

   不等式變成 $55\left(x^{2}-25\right)>19285$。先做這一步，後面只需要一次除法而不是好幾次。

2. 2

   除以正的係數。 因為 $55>0$，兩邊同除不會改變方向：

   $x^{2}-25>\frac{19285}{55}=\frac{3857}{11}.$

   這個分數可以約掉 $5$（$19285=5\times3857$、$55=5\times11$），而且不能再約，因為 $3857=7\times19\times29$ 與 $11$ 沒有公因數。保留精確值可以避免最後的邊界被四捨五入。

3. 3

   把 $x^{2}$ 單獨留下。 兩邊加上 $25=\tfrac{275}{11}$：

   $x^{2}>\frac{3857}{11}+\frac{275}{11}=\frac{4132}{11}\approx375.636.$

4. 4

   解平方型不等式時兩支都要取。 對正的常數 $c$，$x^{2}>c$ 成立的範圍是區間 $\left[-\sqrt c,\sqrt c\right]$ 的外側：

   $x<-\sqrt{\frac{4132}{11}}\quad\text{或}\quad x>\sqrt{\frac{4132}{11}}.$

   只寫 $x>\sqrt c$ 會整個漏掉負的那一支——這是這類題目最常見的錯誤。

5. 5

   化簡根式並檢查。 因為 $4132=4\times1033$，把分母有理化之後得到

   $\sqrt{\frac{4132}{11}}=\frac{2\sqrt{1033}}{\sqrt{11}}=\frac{2\sqrt{11363}}{11}\approx19.3813.$

   檢驗：在 $x=19.5$，$55(380.25-25)=19538.75>19285$ ✓；在 $x=19.3$，$55(372.49-25)=19111.95$，不成立 ✓。由對稱性，$x=-19.5$ 成立而 $x=-19.3$ 不成立 ✓。