解絕對值方程式 |3x − 5| = 5。

Step-by-step solution

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   先確認右邊是正數。 絕對值是距離，所以永遠不為負。這裡右邊是 $5>0$，代表解存在，而且恰好會有兩個 —— 對應到離零 $5$ 個單位的那兩個點。

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   把一個方程式變成兩個。 $|A|=5$ 說的是 $A$ 離 $0$ 有 $5$ 個單位，所以 $A=5$ 或 $A=-5$。代入 $A=3x-5$：

   $3x-5=5\qquad\text{或}\qquad 3x-5=-5$

   過程中沒有丟掉也沒有多出任何東西 —— 兩種情況合起來與原方程式完全等價。

3. 3

   解正的那個情況。 兩邊加 $5$，再除以 $3$：

   $3x=10\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{10}{3}$

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   解負的那個情況。 一樣兩邊加 $5$；這次右邊會化成零：

   $3x-5=-5\quad\Longrightarrow\quad 3x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0$

5. 5

   把兩個答案都代回原式。 驗算很省事，卻能抓到正負號的失誤：

   $\left|3\cdot\tfrac{10}{3}-5\right|=|10-5|=5\qquad\checkmark$
   $|3\cdot 0-5|=|-5|=5\qquad\checkmark$

   兩個值都滿足原方程式，所以解集是 $\left\{0,\tfrac{10}{3}\right\}$。