解 2x³ + 33x² + 180x − 300 = 0。它有幾個實根？分別是多少？

Step-by-step solution

1. 1

   先排除有理根。 候選值是 $\pm\frac{p}{q}$，其中 $p\mid 300$ 且 $q\mid 2$。取 $f(x)=2x^{3}+33x^{2}+180x-300$ 試幾個看起來合理的小數字：

   $f(1)=2+33+180-300=-85,\quad f(2)=16+132+360-300=208,$

   $f(-5)=-250+825-900-300=-625,\quad f(-10)=-2000+3300-1800-300=-800.$

   沒有一個為零，其餘候選值也一樣，所以這個三次式在有理數上不可約，用眼睛是分解不出來的。

2. 2

   由判別式數出實根個數。 對 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$，判別式是

   $\Delta=18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}=-42{,}120{,}000.$

   因為 $\Delta<0$，恰有一個實根，另外是一對共軛複根。這在動手做任何數值計算之前就把「有幾個」這件事定案了——把 $f$ 掃過 $[-100,20]$，也確實只看到一次變號，位置在 $x=1.32$ 附近。

3. 3

   框住實根再用二分法。 由 $f(1)=-85<0$ 與 $f(2)=208>0$ 可知根落在 $(1,2)$。反覆對半切、保留有變號的那一半，收斂到

   $x\approx 1.321083731.$

   檢驗：$f(1.321083731)\approx+4.4\times10^{-8}$ ✓。若只粗略報成 $1.32$，會留下 $f\approx-0.30$，所以當這個根還要餵給後續計算時，多出來的位數很重要。

4. 4

   用卡丹公式求精確值。 以 $x=t-\frac{b}{3a}=t-\frac{11}{2}$ 消去二次項，得到 $t^{3}+pt+q=0$，其中

   $p=\frac{3ac-b^{2}}{3a^{2}}=-\frac34,\qquad q=\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}=-\frac{1249}{4}.$

   由於 $\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}=\frac{1560001}{64}-\frac{1}{64}=24375$，而 $\sqrt{24375}=25\sqrt{39}$，卡丹公式給出

   $x=\sqrt[3]{\frac{1249}{8}+25\sqrt{39}}+\sqrt[3]{\frac{1249}{8}-25\sqrt{39}}-\frac{11}{2}.$

5. 5

   以高精度驗證這個封閉形式。 用 60 位數的算術計算該式，得到

   $x=1.32108373084131024332679\ldots,$

   代回原式得 $f(x)\approx 2\times10^{-53}$ ✓。注意第二個立方根的被開方數 $\frac{1249}{8}-25\sqrt{39}\approx 5.004\times10^{-5}$ 極小，用一般浮點數計算這個形式會損失精度——實務上要報數字時，二分法算出的值比較保險。