求 7 + 2(5x + 2x²) = 16 的解，每個答案都以最簡根式表示。

Step-by-step solution

1. 1

   展開括號，並把所有項移到同一邊。

   $7+10x+4x^{2}=16\quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}+10x-9=0.$

   按次數由高到低排好，係數 $a=4$、$b=10$、$c=-9$ 才一眼看得出來。

2. 2

   先試試能不能因式分解。 需要找兩個整數，乘積是 $4\cdot(-9)=-36$、和是 $10$；最接近的兩組是 $(-2,18)$ 與 $(12,-3)$，和分別為 $16$ 與 $9$。都湊不出來，所以兩根是無理數，答案確實會是根式。

3. 3

   算判別式。

   $b^{2}-4ac=10^{2}-4(4)(-9)=100+144=244.$

4. 4

   先化簡根式，再做除法。 $244=4\cdot 61$ 而 $61$ 是質數，所以

   $\sqrt{244}=2\sqrt{61}.$

   在這裡先化簡，最後的分數才約得掉；直接留著 $\sqrt{244}$ 雖然答案正確，卻不是最簡形式。

5. 5

   套公式解，再約掉公因數 2。

   $x=\frac{-10\pm 2\sqrt{61}}{2\cdot 4}=\frac{2\left(-5\pm\sqrt{61}\right)}{8}=\frac{-5\pm\sqrt{61}}{4}.$

6. 6

   用根與係數關係加上小數估值檢查。 兩根之和是 $\tfrac{-10}{4}=-2.5$，兩根之積是 $\tfrac{-9}{4}=-2.25$。數值上 $\sqrt{61}=7.8102$，所以兩根是 $0.70256$ 與 $-3.20256$；它們的和是 $-2.5$、積是 $-2.25$，都正確。