解方程式 x^2 + 4|x - 3| - 7x + 11 = 0。

Step-by-step solution

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   先找出絕對值裡面變號的位置。 $|x-3|$ 在 $x=3$ 兩側的表現不同，所以實數線被切成兩段：$x\ge 3$ 與 $x<3$。在每一段上絕對值都可以換成一般的一次式，於是一個難解的方程式就變成兩個普通的二次方程式。

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   情況一：$x\ge 3$，此時 $|x-3|=x-3$。 代入並整理：

   $x^2+4(x-3)-7x+11=x^2+4x-12-7x+11=x^2-3x-1=0$

   $x=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$

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   只保留真正滿足 $x\ge 3$ 的那個根。 數值上 $\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx 3.303\ \ge 3$（保留），而 $\frac{3-\sqrt{13}}{2}\approx-0.303<3$（捨去）。被捨去的值滿足改寫後的方程式，卻不滿足原方程式，因為在那一側 $|x-3|$ 並不等於 $x-3$。

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   情況二：$x<3$，此時 $|x-3|=3-x$。

   $x^2+4(3-x)-7x+11=x^2-4x+12-7x+11=x^2-11x+23=0$

   $x=\frac{11\pm\sqrt{121-92}}{2}=\frac{11\pm\sqrt{29}}{2}$

   這裡 $\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx 2.807<3$（保留），$\frac{11+\sqrt{29}}{2}\approx 8.193\ \ge 3$（捨去）。

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   把兩個留下來的根代回原方程式驗算。 對 $x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3.30278$：$x^2\approx10.9083$、$4|x-3|\approx1.2111$、$-7x\approx-23.1194$，總和為 $10.9083+1.2111-23.1194+11\approx 0$。對 $x=\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx2.80742$：$x^2\approx7.8816$、$4|x-3|\approx0.7703$、$-7x\approx-19.6519$，總和 $\approx 0$。兩個都通過。

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   寫出兩個根。 這個方程式恰有兩個解，

   $x=\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx2.807\qquad\text{與}\qquad x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3.303$

   分界點 $x=3$ 的兩側各有一個根——這提醒我們：分情況討論時，每一種情況都可能（而且常常真的會）貢獻一個根。