解方程式 x³ = 9x² + 22x。

Step-by-step solution

1. 1

   把式子移成一邊為零，不要兩邊除以 $x$。 兩邊同除以 $x$ 看起來省事，卻會不聲不響地刪掉根 $x=0$。把每一項都移到左邊：

   $x^3-9x^2-22x=0$

2. 2

   提出公因式 $x$。 每一項都至少含一個 $x$：

   $x\left(x^2-9x-22\right)=0$

   這樣才把 $x=0$ 當成一個真實的解保留下來，而不是把它弄丟。

3. 3

   分解那個二次式。 乘積為 $-22$、和為 $-9$ 的兩個數是 $-11$ 與 $+2$：

   $x^2-9x-22=(x-11)(x+2)\quad\Longrightarrow\quad x(x-11)(x+2)=0$

4. 4

   對每個因式套用零乘積性質。

   $x=0,\qquad x=11,\qquad x=-2$

5. 5

   三個根都代回原式檢驗。 當 $x=11$：$11^3=1331$，而 $9(121)+22(11)=1089+242=1331$ $\checkmark$。當 $x=-2$：左邊 $-8$，右邊 $9(4)-44=36-44=-8$ $\checkmark$。當 $x=0$：$0=0$ $\checkmark$。三次方程式最多只有三個根，所以這份名單已經齊全。