下列哪一個正確？A：a > 0 時 a³ + 1/a² 的最小值是 2√a。B：x > 1 時 x + 1/x 的最小值是 2。C：x > 0 時 √x + 1/√x ≥ 2。D：x < 5/4 時 y = 4x − 2 + 1/(4x − 5) 的最小值是 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先記牢算幾不等式需要的三個條件。 要讓 $u+v\ge 2\sqrt{uv}$ 真的給出最小值，兩項必須為正、乘積必須是定值，而且取等點 $u=v$ 必須真的落在允許的定義域內。底下每個錯誤選項恰好各違反其中一條。

2. 2

   A 錯在：這個下界不是常數。 算幾不等式給出 $a^{3}+\dfrac{1}{a^{2}}\ge 2\sqrt{a^{3}\cdot a^{-2}}=2\sqrt{a}$，但 $2\sqrt a$ 裡還帶著 $a$，所以它不是一個最小值 —— 而是會跟著移動的靶。（真正的最小值出現在 $3a^{2}=2a^{-3}$ 處，也就是 $a=(2/3)^{1/5}$。）不正確。

3. 3

   B 錯在：取等點被定義域排除了。 $x+\dfrac1x\ge 2$ 只在 $x=1$ 處取等，而定義域是 $x>1$。在 $x>1$ 上這個函數嚴格遞增，因此函數值都 $>2$，永遠碰不到 $2$：$2$ 只是下確界，最小值並不存在。不正確。

4. 4

   C 正確。 令 $t=\sqrt{x}>0$，則 $t+\dfrac1t\ge 2\sqrt{t\cdot\tfrac1t}=2$，等號在 $t=1$ 即 $x=1$ 處成立，而它確實在定義域 $x>0$ 之內。所以這個不等式對一切 $x>0$ 都成立，而且是最佳的。正確。

5. 5

   D 錯在：1 是最大值，不是最小值。 令 $t=4x-5$；由 $x<\tfrac54$ 知 $t<0$。又 $4x-2=t+3$，於是

   $y=t+3+\frac1t=3+\left(t+\frac1t\right)$

   當 $t<0$ 時，$t+\dfrac1t=-\left(|t|+\dfrac{1}{|t|}\right)\le -2$，因此 $y\le 1$。所以 $1$ 是 $y$ 的最大值（在 $t=-1$ 即 $x=1$ 處取到），而不是最小值。不正確。

6. 6

   下結論。

   $\boxed{\text{C}}$

   抽查一下：對 D，取 $x=1$ 得 $y=4-2+\tfrac{1}{-1}=1$，取 $x=0$ 得 $y=-2-\tfrac15=-2.2<1$，確認 $1$ 是最大值。對 B，取 $x=1.1$ 得 $1.1+0.909=2.009>2$，函數值往 $2$ 遞減卻始終到不了。